- Calculul unor conjecturi din teoria numerelor prime

Stiindu-se distanta maxima dintre 2 nr prime "link- distanta max dintre 2 nr. prime" se pot calcula o droae de conjecturi din ziua de azi:

- Conjectura Legendre: Enunt: Intre patratele orecaror doua numere consecutive, exsista cel putin un numar prim.

Rezolvare: Trebue de demonstrat caci intre $x^{2}$ si $x^{2}+2x+1$ exista cel putin un numar prim.
Intrucit limitele intervalului studiat cert nu pot fi numere prime conform "link- distanta max dintre 2 nr. prime" intre aceste intervale exista cel putin 2 numere prime

Aceasta e simplu in formula $M(x)+1=m(k)$ (1) in loc de $x$ inlocuim $x^{2}$ si determinam valoare lui k (fiind solutia ecuatiei).
Apoi daca exista in acel interval (x^2, (x+1)^2) cel putin 2 numere prime (deoarece capetele nu sunt numere prime), atunci noi va trebui sa lucram nu cu k ci cu k-2.

Apoi verificam daca inegalitatea este adevarata (atunci si conjectura e adevarata in caz contrar nu putem spune nimic despre conjectura):

$\frac{k}{2}\leq x^{2}+2x+1$

- Conjectura lui Brocard: Enunt: Intre patratele orecaror doua numere prime consecutive, exsista cel putin patru numere prime

Rezolvare: Daca pentru distanta minima dintre cele 2 numere consecutive prime se respecta conjectura, atunci atit mai mult si pentru restul cazurilor.
La fel ca in cazul de mai sus in acest interval exista cel putin 2 numere prime.

Adica trebue de demonstrat: Caci intre $x^{2}$ si $x^{2}+4x+2$ exista cel putin 4 nr prime. Aceeasi tehnica de rezolvare ca si mai sus:

$2k\leq x^{2}+4x+4$

- Conjectura lui Schinzel: Enunt: Intre oarecare $x$ si $x+\sqrt{x}$ , pentru $x\geq 117$ , exsista cel putin un numar prim.

Rezolvare: Trebue de verificat egalitatea (daca e adevarata, e adevarata conjectura, daca e falsa atunci nu se stie daca e falsa conjectura sau nu):

$k\leq x+\sqrt{x},x\geq 117$

- Conjectura lui Oppermann: Enunt: Intre $x^{2}-x$ si $x^{2}$ ; la fel intre $x^{2}$ si $x^{2}+x$ , $x\geq 2$ , permament exsista cel putin un numar prim.

Rezolvare: Trebue de verificat sistemul (daca e adevarat inegalitatile din sistem e adevarata conjectura, daca e falsa atunci nu se stie daca e falsa conjectura sau nu):
$\left\{\begin{matrix} (M(x^{2}-x)+1)|\circ m(x)\leq x^{2}\\ (M(x^{2})+1)|\circ m(x)\geq x^{2}+x \end{matrix}\right.$

- Conjectura lui Andrica: Enunt: Diferența radicalilor a două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât 1 adica : $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}<1$
Rezolvare: Inegalitatea de mai sus se rezuma la :
$p_{n}<p_{n+1}-2\sqrt{p_{n+1}}+1$
Deoarece $k\geq p_{n+1}$ atunci:
$p_{n}<p_{n+1}-2\sqrt{p_{n+1}}+1\leq k-2\sqrt{k}+1$
Noi ne oprim sa rezolvam:
$p_{n}\leq k-2\sqrt{k}+1$

$k$ - este solutia ecuatiei (1) in functie de $p_{n}$ .

Ideas

luni, 7 martie 2016

- Calculul unor conjecturi din teoria numerelor prime

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Arhivă blog