- Calculul integralelor

Iata care e toata pacaleala:
$\begin{matrix} ... & \int f(x)dx & f(x) & f^{'}(x) & f^{''}(x) & ... & f^{(n)}(x) \end{matrix}$ .
Ai functia $f(x)$ . Determini daca e derivabila.
[Se stie bine ca derivarea a foarte multor functii nu este o problema, acestavantaj se considera ca fiind prima chee]
Ii gasesti prima derivata. Apoi a doua derivata, etc. derivata de ordinul n.
Urmaresti faptul cum functia cu derivata inferioara se modifica la derivata superioara. Observind acesta evolutie , si fiind prof in toate astea, cred ca se poate de mers inapoi.. adica sa ajungem sa aflam care este integrala cutarei functii.
Cred ca s-ar putea gasi integrala de ordinul n, din o singura lovitura, aceasta deja este ceva, insa .. pina atunci presupun ca mai este..
Spre exemplu se stie derivatele de ordinul n din o multime de functii elementare si compuse.
Mai avem (usor se deduce) formula lui Leibniz de calcul a derivatelor de orinul n din o functie care este egala cu produsul a doua functii:
$f^{(n)}(x)=(g(x)h(x))^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}g^{(n-i)}(x)h^{(i)}(x)$
La fel se pot elabora formule pentru cazurile cind functia reprezinta impartierea dintre 2 functii, o functie ridicata la puterea altei functii, etc. [de remarcat, ca aproape in toate cazurile apare factorialul, fie sub forma de combinari, fie sub alte forme]

Apoi in loc de cazul general din formula: derivata de ordenul $n$ =..... , inlocuim in locul lui $n$ peste tot cu valoarea $-1$ (daca inlocuim cu derivata de ordenul $0$ aceasta este insusi functia noastra, dar ilocuind cu $-1$ este integrala functiei noastre cautate )

[Vorbesc de integrale in real cu o singura variabila, despre functii dea alea normale, nu de alea cine stie cu ce nazbitii, iesite din domeniul de definitie a teoriei (asa exemplu poate e functile Akerman)]

Vom numi derivata de ordenul 0 insusi functia care o avem in fata, initiala $f^{(0)}(x)=f(x)$ .
La fel: $f^{(-k)}(x)=\int \left ( f^{(-k+1)}(x) \right )dx=F^{(k)}+c_{k}x^{k-1}+c_{k-1}x^{k-2}+...+c_{1}$
$c_{k},c_{k-1},...,c_{1}$ sunt anumite constante...

Ca sa nu ne ducem la integrale de orden superior, mai bine raminem la integrala de ordenul 1, sau derivata de odenul -1.

Ideea deci asa ramine: Stiind derivata de ordenul n, inlocuind -1 in expresie vom determina integrala cautata.

De remarcat ca mergind mai departe, de ce sa nu fie si derivate fractionare (neintregi) ?! Nu stiu daca are vreun sens, si daca are sens unde anume se aplica.

Sa luam sa analizam chite un exemplu de functii.
$\left ( x^{\lambda } \right )^{(n)}=\frac{\lambda !}{(\lambda -n)!}x^{\lambda -n}$

$f^{(n)}(x)=(g(x)h(x))^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}g^{(n-i)}(x)h^{(i)}(x)$

$\left ( a^{x} \right )^{(n)}= a^{x}ln(a)+a^{x-1}+(x-1)(x-2)a^{x-2}+..+\frac{(x-1)!}{(x-n)!}a^{x-n+1}$

Observam caci daca am inlocui $-1$ peste tot atunci ne lovim de banalitati precum $C_{-1}^{i}$ sau $(-k)!$ .Poate factorialul cu valori negative si se poate de calculat insa cu combinarile ce de facut ?!
Am asa o intentie ca sa analizam functia derivata de ordenul 1 considerind-o ca fiind o anumita functie deoparte noua. Aici deasemeni ne vom lovi de cazurile mai sus expuse, insa noi stim care e inversa acestei functii deaceea posibil s-ar putea deduce unele legi.

Ideas

luni, 7 martie 2016

- Calculul integralelor

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Arhivă blog