- Conjectura Goldbach

Avem tabloul bidimensional pe fiecare linie si coloana scriem nr impare de la 3. Valorile celulelor le completam in partea de sus a diagonalei (sau partea de jos) cu valoarea sumei acelei linii si coloane, e inutil sa scrim in ambele parti..
Taiem liniile si coloanele care contin nr impare compuse, ramin deci liniile si coloanele strict cu numerele prime impare.
Fiecare celula este intersectie unei linii si coloane care contin nr prime. Valoarea sumelor coordonatelor acestor celule clar ca e suma a doua numere prime care e egala cu un numar par.

Acum, observam caci toate celulele de pe diagonala secundara (linii care incep la 45 grade din partea sus-dreapta catre jos-stinga) au valori egale intre ele.
Ce inseamna a rezolva conjectura?
Inseamna a demonstra daca da sau nu caci fiecare diagonala secundara care incepe de la nr 3 pina la un oarecare nr contine cel putin o celula.

Mai matimatic spus ca conjectura sa fie adevarata trebuie ca inegalitatea sa fie adevarata:
$C_{\pi(n-3)}^{2}-N_{repetitii}-N_{mari}\geq \frac{n}{2}-2$
Cum se descifreaza inegalitatea ?
n- inseamna nr. oarecare de noi ales (e nr par sa nu mai facem vorba multa)
(n/2)-2 inseamna cite numere pare sunt pina la acest numar par inafara de numerele 2 si 4
PI(n-3)- nr de numere prime pina la n-3 (mai mari de n-3 nu ne intereseaza deoarece in suma cu orice alt nr prim impar deja va fi mai mare ca nr n)
C_(PI(n-3))^(2)- combinari cu repetitii din PI(n-3) luate cite 2, aceasta inseamna chite celule noi avem.
N_repetitii- observam caci o multime de diagonale secundare pot contine un numar mare de celule (toate stim ca sunt egale intre ele), noua deci ne trebue sa anulam repetiile si sa lasam numai una. De exemplu daca o diagonala secundara are 17 celule, numarul de repetitii va fi 17-1.
N_mari - observam caci sunt celule care au valori mai mari ca nrul n, deaceea e nevoe sa le eliminam si pe ele

EX.
Sa verificam conj pina la nr 14 (trebuie sa verificam deci caci numerele 6,8,10,12,14 [cinci la numar] pot fi scrise ca suma de 2 nr prime).
Pina la 11 avem 4 nr prime, anume {3},{5},{7},{11}
Combinari din 4 luate chite 2 cu repetitii sunt= 11: {3,3},{5,5},{7,7},{3,11},{11,11},{3,5},{3,7},{3,11},{5,7},{5,11},{7,11}
valorile acestor celule: {6},{10}{14},{14},{22},{8},{10},{14},{12},{16},{18}
repetitiile sunt: {14}- 2 la nr; {10}- unu; toatal 3
nr care depasesc nrul 14: {22}, {18},{16}; total 3
11-3-3>=5

Prima parte din formula azi dupa sute de ani de cercetari cu matimaticieni mari s-a facut ceva ceva (ma refer la combinatorica si teorema numerelor prime), iata ce sa faci ca sa gasesti formula ca sa determini numaril de repetitii intre celule si numarul de celule cu valori ce depasesc numarul nostru ?!

Formula se poate "simplifica" putin:
$C_{\pi (n-3)}^{2}-N_{repetitii}-N_{mari}=\frac{n}{2}-2-\pi(n-3)$ $\left ( 2 \right )$

Pentru importanta ei o notam cu formula (2)
Daca construim un tablou bidimensional si ne intereseaza cite celule sunt deasupra diagonalei principale inclusiv cu diagonala principala vom afla caci acest numar este egal cu:
$N=k^{2}-\sum_{i=1}^{k-1}k$ $=k^{2}-\frac{(k-1)k}{2}=\frac{k^{2}+k}{2}$
Ceea ceeste egal cu formula de mai sus prin care aplicind combinarile se poate la fel de determinat acest numar.
$C_{\pi (n-3)}^{2}+\pi (n-3)=\pi ^{2}(n-3)- \sum_{i=1}^{k=\pi (n-4)}k = \pi ^{2}(n-3)-\left ( \frac{\left ( \pi (n-4)\right )\left ( \pi (n-4)+1 \right )}{2} \right )$

Conjectura lui Goldbach mai poate fi scrisa si prin ecuatia:
$\pi ^{2}(n-3)-\left ( \frac{\pi (n-4)(\pi (n-4)+1)}{2} \right )-N_{repetit}-N_{mari}=\frac{n}{2}-2$ $\left ( 3 \right )$

Acum atentie la noul desen.

Daca am putea demonstra caci pe fiecare diagonala secundara (d1, d2,...) exista/sau nu cel putin cite o celula, atunci automat conjectura e demonstrata.

Noi putem calcula cite celule sunt in total in sectorul (triunghiul ) OAB.
Daca vom putea determina cite celule cu valori mari si chite celule cu valori repetitive sunt in acest triunghiu (cu lungimea laturii un numar oarecare) atunci ecuatia este construita si se poate de spus caci si conjectura e demonstrata.
Mare atentie aici nu are loc criteriile cele de congruenta, asemanare,... cum era la geometrie, deoarece aici figurile (triunghi, patrat, ...) contin linii si coloane cu "goluri" (adica linia sau/si coloana avint numar compus), iata dupa ce le "comprimam" (anulind golurile) si obtinem noile figuri "pline" atunci se poate de aplicat ceea ce stim de la geometria clasica.
Ecuatia conjecturii este:
$\bigtriangleup OAM-N_{repetitii}=\frac{n}{2}-2$
sau $\bigtriangleup OAB-\bigtriangleup ABM-N_{repetitii}=\frac{n}{2}-2$
adica: $N_{mari}=\bigtriangleup ABM$

Celulele cu valori ai termenilor ce depasesc numarul nostru limita, numite- Numere mari se observa foarte foarte simplu pe desen in care sector se afla, anume ele sunt cuprinse in triunghiul MBA. Daca determinam numarul de celule in acest triunghi, atunci scapam de un impediment.
Paradoxal dar, numarul de celule din jumatate din acest triunghiu MBA se determina foarte simplu, ma refer la triunghiul MKB. La acest triunghi MKB numrul de celule se calculeaza asemenea cum am facut la triunghiul OAB.
Numarul de numere prime de la N la A este egal cu OA - ON. Latura MK=KB (numarul de numere prime de la M la K [de la 15 la 29] este acelasi cum de la K la B [de la 15 la 29] ).
Numarul de celule in MKB este:
$A_{\bigtriangleup ABM}=\frac{MK^{2}-MK}{2}$ sau $A_{\bigtriangleup ABM}=C_{MK}^{2}+MK$

$MK=\pi (n-3)-\pi (\frac{n-3}{2})$

$N_{mari}=\left ( \pi (n-3)-\pi (\frac{n-3}{2}) \right )^{2}-\sum_{i=1}^{k=\left ( \pi (n-3)-\pi (\frac{n-3}{2}) \right )^{2}}k$

$N_{mari}=C_{\left ( \pi (n-3)-\pi (\frac{n-3}{2})\right ) ^{2}}^{2}+2\left ( \pi (n-3)-\pi (\frac{n-3}{2}) \right )^{2}-1$

Cum sa determinam numarul de celule din triungiul AMK idee nu am. Pe desen el este jumatate din patratul NMKA, in realitate insa figura MNKA este un dreptunghi. Noi putem usor determina numarul de celule din NMKA dar nu putem sa determinam pe AMK.
Aproximativ pitem spune cite celule sunt in AMK.
$AMK\approx MKB$
mai putem spune (in cazul nostru particular triunghiul MKB are cu o linie mai multe elemente ca AMK si celule in acest caz particular are mai multe, pentru valori mari situatia e inversa): $AMK>MKB$

Determinarea lui $N_{repetitii}$ este problema centrala in rezolvarea acestei conjecturi, determinarea lui $N_{mari}$ a fost doar incalzirea. Stiindu-se $N_{repetitii}$ nici treaba nu putem avea cu restul.

Metoda 2: Asemanatoare cu cea de mai sus consta in aceea caci: Fie luam un numar oarecare n ca fiind un caz general. Se analizeaza patratul care il formeaza NMKA.
Demonstrarea conjecturii inseamna sa demonstram caci pe diagonala secundara MA exista cel putin o celula.

Putem aproximativ determina numarul de numere prime de la N la A, apoi de la N la M. Putem determina deasemenea numarul de celule din dreptunghiul NMKA.
----------------

Analog dar, putin mai complicat (e utila pentru cazul cind celelalte cazuri inferioare ale conjecturii nu sunt demonstrate) s-ar putea ca varianta ternara a conjecturii sa se rezolve analog (construind cub cele pe 3 axe sunt numere prime, diagonala principala impreuna cu 2 axe formeaza o piramida care se analizeaza, apoi permendiculara depe diagonala pe planul celor 2 axe si se analizeaza noua piramida). Aici posibil vom avea de analizat: o sectiune de piramida, sectiunea OMN.

Aici se analizeaza tabloul tridimensional (cubul format din celule de cubi ) si anume din acest tablou se analizeaza piramida OPxNM compusa si ea la rindui din cubulete care au 3 coordonate , fiecare coordonata inseamna numar prim (triplete de numere prime), numele la cutarea celula este suma acestor 3 coordonate. Px- axa numerelor prime pe OX, Py- axa cu numere prime pe OY,..

La fel si aici trebue analizate Numerele repetitii si Numerele mari.

-----------------------------------------

Analog se poate de construit ecuatia si de demonstrat conjectura pentru varianta ternara si cazul generalizat.

Ideas

duminică, 6 martie 2016

- Conjectura Goldbach

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Arhivă blog